Permutasi

PERMUTASI

Tujuan Pembelajaran

• Memahami konsep dasar permutasi melalui contoh-contoh nyata.

• Mampu membedakan permutasi semua unsur, sebagian unsur, dan memuat unsur yang sama.

• Mampu menerapkan konsep permutasi dalam menyelesaikan masalah.

Pendahuluan

Ayo Berkreasi dengan Susunan!

Pernahkah kamu memperhatikan bagaimana kamu menyusun buku di rak? Atau bagaimana teman-temanmu berbaris saat upacara? Setiap susunan yang berbeda itu sebenarnya merupakan contoh dari konsep matematika yang disebut permutasi. Permutasi adalah banyaknya cara menyusun sejumlah objek dalam urutan yang berbeda.

Definisi: Permutasi adalah susunan objek dengan memperhatikan urutannya.

Contoh 1: Misalkan ada dua kursi kosong. Andi dan Budi ingin duduk di kursi tersebut. Berapa banyak cara mereka bisa duduk?

• Cara 1: Andi duduk di kursi pertama, Budi di kursi kedua.

• Cara 2: Budi duduk di kursi pertama, Andi di kursi kedua.

Jadi, ada 2 cara mereka bisa duduk.

Contoh 2: Sekarang ada tiga anak, yaitu Andi, Budi, dan Cici. Mereka ingin masuk ke dalam ruangan satu per satu. Berapa banyak urutan berbeda mereka bisa masuk?

• Kemungkinan 1: Andi masuk dulu, lalu Budi, kemudian Cici.

• Kemungkinan 2: Andi masuk dulu, lalu Cici, kemudian Budi.

• Kemungkinan 3: Budi masuk dulu, lalu Andi, kemudian Cici

• Dan seterusnya...

Apakah kalian dapat menentukan jawabannya?, jawabannya adalah .........

Untuk mencari tahu semua kemungkinan, kita bisa membuat daftar atau menggunakan diagram pohon. Namun, semakin banyak orang, semakin sulit membuat daftarnya. Oleh karena itu, kita perlu mempelajari rumus permutasi.

Materi Pokok: Permutasi

A. Faktorial

Faktorial dilambangkan dengan simbol: "!".

Definisi: 1). n! = n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

2). 0! = 1

1! = 1

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

B. Permutasi n Unsur

Faktorial bisa digunakan untuk menghitung banyaknya permutasi dari semua unsur.

Contoh 1:

Banyak susunan berbeda dari 3 huruf A, B, dan C adalah ....

Jawab: n = 3 (A, B, C) maka banyak susunannya sama saja dengan permutasi ketiga unsur tersebut.

3! = 3 x 2 x 1 = 6

(Susunan-susunan tersebut adalah: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA)

Contoh 2:

Ada 5 anak yang akan duduk berjajar pada sebuah kursi panjang. Tentukan banyak posisi duduk yang mungkin terjadi?

Jawab: n = 5

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 posisi

Contoh 3:

Tentukan banyak cara menyusun 2 buku matematika dan 3 buku biologi di atas sebuah meja (Susunan bertumpuk/buku satu berada di atas buku lainnya), jika buku sejenis harus selalu berdampingan.

Jawab:

Permasalahan ini tidak dapat langsung dijawab 5!, karena bukan melakukan permutasi kepada kelima unsur yang ada tetapi harus mengelompokkan beberapa objek tertentu.

Misal: Buku matematika = M1 dan M2, sedangkan buku biologi = B1, B2, dan B3.

Beberapa susunan yang mungkin terjadi: M1M2B1B2B3, M2M1B1B2B3, M1M2B1B3B2, dan seterusnya.

Untuk mempermudah menjawabnya, kita dapat menggunakan konsep "kejadian saling bebas" serta faktorial.

Susunan dengan buku sejenis berdampingan berarti: menyusun buku matematika dan biologi yang masing-masing buku bisa berubah posisinya namun tetap dalam kelompok buku yang sama.

Selanjutnya, karena yang sejenis harus berdampingan, ini sama halnya dengan menyusun permutasi 2 unsur (kelompok buku matematika dan kelompok buku biologi = 2!.

Sedangkan ditiap kelompoknya, buku juga dipermutasikan kerena tiap susunan/urutan buku yang berbeda menunjukkan susunan yang berbeda (M1M2 tidak sama dengan M2M1). 

Matematika= 2!, dan Biologi = 3!.

Sehingga banyak susunan yang mungkin = 2! x 2! x 3! = 24 susunan.

Contoh 4:

Ada 5 laki-laki dan 3 perempuan duduk berjajar. Berapa cara kemungkinan mereka duduk jika pada ujung-ujung duduk laki-laki dan tidak ada perempuan yang berdampingan?

Jawab:

L untuk laki-laki; dan P untuk perempuan

Agar diujung (kiri dan kanan) adalah laki-laki, maka kasus ini dimmulai dengan laki-laki duduk terlebih dahulu. 

O O O O O O O O

Karena perempuan tidak boleh berdampingan, maka yang laki-laki semuanya duduk terlebih dahulu (Yang lebih banyak)

L ... L ... L ... L ... L

setelah laki-laki duduk (berarti ada 5! kemungkinan), perempuan pertama memiliki 4 pilihan posisi duduk

L ... L ... L ... L ... L

berikutnya, perempuan kedua memiliki 3 pilihan posisi duduk

L ... L ... L ... L ... L

perempuan ketiga, memiliki 2 pilihan posisi duduk

L ... L ... L ... L ... L

Sehingga, banyak posisi duduk = 5! x 4 x 3 x 2 = 120 x 24 = 2880 cara

D. Permutasi Memuat Unsur Sama

Misalkan dari n yang akan dipermutasikan terdapat beberapa unsur yang sama, ini akan berpengaruh terhadap banyak permutasi yang dihasilkan. Hasilnya akan berkurang dari permutasi keseluruhan, karena unsur yang sama tidak berbeda hasil susunannya walaupun posisinya bergantian.

contohnya, jika kita menyusun 3 objek yaitu ABB, kita tidak menghasilkan 3! = 6 susunan berbeda. Hasilnya lebih sedikit (dibagi dengan permutasi tiap unsur-unsur yang sama tersebut).

Susunan A B1 B2 tidak ada bedanya dengan A B2 B1, keduanya sama-sama ABB.

Akibatnya, pada kasus tersebut kita hanya memiliki 3 kemungkinan susunan, yaitu: ABB, BBA, BAB.

P = 3! / 2! = 3.

Permutasi Unsur Sama: Ada beberapa objek yang sama jenisnya.

Rumus: P = n! / (n1! * n2! * ...)

dengan n1 = banyak unsur sama pertama; n2 = banyak unsur sama kedua; dan seterusnya.

Contoh:

Ada berapa banyak susunan berbeda dari huruf-huruf pada kata: MALAM.

Jawab: n = 5;

n1 = 2 (huruf M)

n2 = 2 (huruf A)