Kaidah Pencacahan

Konsep Kaidah Pencacahan (klik untuk membaca)

Konsep Kaidah Pencacahan (Konsep Dasar)

Tujuan Pembelajaran:

Memahami konsep dasar kaidah pencacahan.
Menghitung semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.
Menemukan pola-pola tertentu dari hasil pencacahan.

📢📢📢PETUNJUK UMUM:

Pada LKPD ini, pembaca (murid) diharapkan melakukan/berkegiatan langsung (bukan hanya membaca). Ikuti setiap petunjuk yang ada dengan langsung mencoba menyelesaikan kegiatan yang disajikan.

Kegiatan 1: Melempar Dadu

Catatan: Siapkan sebuah dadu mata 6 untuk melakukan percobaan ini. Jia tidak menemukan, silakan gunakan dadu virtual berikut ini:
Klik DADU

Ayo, lakukan! Lemparkan sebuah dadu (mata 6) sebanyak 10 kali. Catat hasil lemparanmu (Mata dadu yang muncul) pada isian berikut:

Lemparan Ke- Hasil

1 ........

2 ........

3 ........

4 ........

5 ........

6 ........

7 ........

8 ........

9 ........

10 ........

Analisis:
- Berapa banyak kemungkinan hasil yang muncul pada satu kali lemparan dadu?
- Apakah ada angka yang lebih sering muncul? Mengapa?

Jawaban:

Kemungkinan hasil yang muncul pada satu kali lemparan dadu adalah 6 (angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6).
Kemungkinan munculnya setiap angka sama besar, yaitu 1/6. Namun, dalam percobaan yang terbatas, mungkin ada angka yang lebih sering muncul karena faktor kebetulan.

Kegiatan 2: Membuat Es Krim

Bayangkan: Sebuah toko es krim menawarkan 2 pilihan rasa es krim (coklat dan vanila) dan 3 pilihan topping (boba, kacang, dan buah). Berapa banyak kombinasi es krim yang bisa kita buat?
Buatlah diagram pohon untuk menunjukkan semua kemungkinan kombinasi es krim.

Jawaban:

Contoh: klik 👉 Diagram Pohon Es Krim

Dari diagram pohon di atas, kita dapat melihat ada 6 kemungkinan kombinasi es krim yang bisa kita buat.

Kegiatan 3: Melihat Rute

Diketahui dari kota Gunung Tabur ke kota Sambaliung dapat ditempuh melalui jalur darat dan jalur sungai. Jika lewat jalur darat, terdapat 3 jalan berbeda yang dapat dipilih, sedangkan jika lewat jalur sungai terdapat 2 jalur berbeda. Kota Sambaling ke kota Mangkajang hanya dapat ditempuh melalui jalur darat denga pilihan 2 jalan berbeda. Tentukan banyak kemungkinan rute perjalanan yang daat dipilih seseorang jika melakukan perjalanan:

Dari kota Gunung Tabur ke kota Sambaliung.
Dari kota Gunung Tabur ke kota Sambaliung lalu pulang kembali ke Gunung Tabur dengan syarat jalan yang sudah dilalui saat pergi tidak boleh dilalui lagi saat pulang.
Dari kota Gunung Tabur ke kota Mangkajang melalui kota Sambaliung.
Menggunakan jalur darat, pulang pergi dari kota Gunung Tabur ke kota Mangkajang melalui kota Sambaling (Gunung Tabur ke Mangkajang lalu kembali lagi ke Gunung Tabur) dengan syarat tidak boleh menggunakan jalur yang sama saat pergi dengan pulang.

Jawaban:

Misalkan jalan darat dari Gunung Tabur Ke Sambaliung tersebut adalah D1, D2, D3. Sedangkan jalur sungai dari Gunung Tabur ke Sambaliung adalah S1, S2. Lalu jalur darat penghubung Sambaliung dengan Mangkajang adalah d4, d5.

Dari Gunung Tabur ke Sambaliung lewat jalur darat ada 3 jalur (D1, D2, D3) atau lewat jalur Sungai ada 2 jalur (S1, S2). Jadi banyak rute yang dapat di pilih adalah, 3 + 2 = 5 rute.
Rincian/pencacahan jalur yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut:

(1) D1-D2 (Pergi lewat D1, pulang lewat D2)

(2) D1-D3 (11) D3-S1

(3) D1-S1 (12) D3-S2

(4) D1-S2 (13) S1-D1

(5) D2-D1 (14) S1-D2

(6) D2-D3 (15) S1-D3

(7) D2-S1 (16) S1-S2

(8) D2-S2 (17) S2-D1

(9) D3-D1 (18) S2-D2

(10) D3-D2 (19) S2-D3

(20) S2-D1

Total rute yang dapat dipilih adalah 20 rute.

Rincian/pencacahan jalur yang dapat ditempuh adalah sebagai berikut:

(1) D1-d4 (7) S1-d4

(2) D1-d5 (8) S1-d5

(3) D2-d4 (9) S2-d4

(4) D2-d5 (10) S2-d5

(5) D3-d4

(6) D3-d5

Total rute yang dapat dipilih adalah 10 rute.

Silakan dicoba untuk latihan😊

Menemukan Pola

Amati: Perhatikan kembali kegiatan 1 dan 2. Apakah kamu menemukan pola tertentu dalam cara menghitung semua kemungkinan? Jelaskan!

Jawaban:

Pada kegiatan 1, kita menemukan bahwa ada 6 kemungkinan hasil pada satu kali lemparan dadu.
Pada kegiatan 2, kita menemukan bahwa dengan 2 pilihan rasa es krim dan 3 pilihan topping, ada 6 kemungkinan kombinasi.
Pola: Jika suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara, maka kedua kejadian tersebut dapat terjadi secara bersamaan dalam (m x n) cara.
Pada kegiatan 3, terdapat aturan pola lainnya, yaitu dijumlahkan. Jika kejadian tidak mungkin terjadi bersamaan, maka gabungan kejadian tersebut diperoleh dengan menjumlahkan banyak kemungkinan-kemungkinannya. (Masalah ini akan dibahas pada pertemuan selanjutnya -> Kaidah Pencacahan Lanjutan).

Kesimpulan

Kaidah pencacahan sangat berguna untuk menghitung semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan. Dengan membuat daftar, tabel, atau diagram pohon, kita dapat secara sistematis menghitung semua kemungkinan tersebut.

Refleksi:

Apa yang paling kamu pahami dari kegiatan ini?
Apakah ada bagian yang masih membingungkan?

Ayo Latihan!

Jika sesorang melambungkan sekeping uang logam sebanyak 3 kali, tentukan semua kemungkinan hasil percobaannya?
Ali, Budi, Cakra, dan Danu menjadi calon ketua dan sekretaris kelas. Jika salah satu dari mereka akan dipilih menjadi ketua dan salah seorang lainnya menjadi sekretaris kelas, tentukan banyak kemungkinan pilihannya?
Dari empat orang calon, yaitu: Ali, Budi, Cakra, dan Danu, akan dipilih dua orang untuk mewakili sekolah dalam lomba cerdas cermat di provinsi. Tentukan banyak kemungkinan pilihannya?

Kaidah Pencacahan Lanjutan (klik untuk membaca)

Aturan Pengisian Tempat

A. Kejadian Saling Bebas vs Saling Lepas

Kejadian Saling Bebas Dua kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian lainnya. Contoh: melempar koin dan dadu. Hasil pada koin tidak akan mempengaruhi hasil pada dadu.

Kejadian Saling Lepas Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersamaan. Contoh: mengambil bola merah atau bola biru dari sebuah kotak yang hanya berisi bola merah dan biru.

Aturan Perkalian vs Aturan Penjumlahan

Aturan Perkalian: Digunakan untuk menghitung banyaknya cara jika suatu kejadian terdiri dari beberapa tahap yang dilakukan secara berturutan. Kata kunci soal: menggunakan kata hubung "dan".
Aturan Penjumlahan: Digunakan untuk menghitung banyaknya cara jika suatu kejadian terdiri dari beberapa pilihan yang saling eksklusif (hanya salah satu pilihan yang dapat terjadi). Kata kunci soal: menggunakan kata hubung "atau".

B. Contoh Soal

1. Kejadian Saling Bebas

Sebuah dadu dan sebuah koin dilempar bersamaan. Berapa banyak hasil yang mungkin terjadi?

Jawab: Kemungkinan yang muncul pada dadu adalah munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Sedangkan pada koin, ada dua kemungkinan yaitu muncul sisi Angka (A) atau muncul sisi Gambar (G). Sehingga, jika kita menuliskan satu persatu kejadian yang mungkin adalah muncul:

(A, 1), (A, 2), (A, 3), (A, 4), (A, 5), (A, 6), (G, 1), (G, 2), (G, 3), (G, 4), (G, 5), (G, 6), sehingga jawabannya terdapat sebanyak 12 kemungkinan.

Catatan: (A, 1) artinya: muncul sisi Angka pada koin dan muncul mata 1 pada dadu.

Cara lain: (aturan perkalian)

Soal menggunakan kata hubung "dan" yang merupakan ciri "kejadian saling bebas" yang kejadiannya berturutan sehingga dapat diselesaikan menggunakan aturan "perkalian".

Kejadian pada dadu ada 6 cara, sedangkan kejadian pada koin ada 2 cara, sehingga banyak kemungkinan hasil kejadian adalah: 6 x 2 = 12 kemungkinan.

Seorang siswa memiliki 3 kemeja dan 2 celana. Berapa banyak cara ia dapat berpakaian?

Jawab: Misal ketiga kemeja tersebut adalah K1 (kemeja pertama), K2, dan K3. Sedangkan kedua celana adalah C1 dan C2. Sehingga kemungkinan pilihan berpakaian adalah, (K1, C1), (K1, C2), (K2, C1), (K2, C2), (K3, C1), (K3, C2), sehingga jawabannya terdapat sebanyak 6 kemungkinan.

Cara lain: (aturan perkalian)

Untuk kemeja ada 3 pilihan, sedangkan celana ada 2 pilihan, sehingga banyak kemungkinan hasil kejadian adalah: 3 x 2 = 6 kemungkinan.

2. Kejadian Saling Lepas

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil sebuah bola secara acak, berapa banyak kemungkinan warna bola yang terambil?

Jawab: Mengambil sebuah bola, sehingga kemungkinan yang terjadi adalah terambil bola warna merah atau bola warna biru. Untuk kejadian terambil bola merah ada 5 kemungkinan hasil, sedangkan bola biru ada 3 kemungkinan hasil. Sehingga banyak kemungkinan warna bola terambil adalah 5 + 3 = 8

Pada percobaan melambungkan 2 dadu, berapa banyaknya kemungkinan muncul jumlah mata dadu 3 atau 4?

Jawab: Ada beberapa kemungkinan hasil pada percobaan melambungkan 2 dadu, diantaranya pada dadu pertama muncul mata 1 dan dadu kedua juga muncul mata 1, ditulis: (1, 1). Kejadian lainnya yaitu (1, 2), dibaca: pada dadu pertama muncul mata 1 dan dadu kedua muncul mata 2.

Sehingga,

Kejadian muncul jumlah mata dadu 3 adalah (1, 2), (2, 1) = 2 kemungkinan.

Kejadian muncul jumlah mata dadu 4 adalah (1, 3), (3, 1), (2, 2) = 3 kemungkinan.

Jadi, banyak kemungkinan muncul jumlah mata dadu 3 atau 4 adalah: 2 + 3 = 5 kemungkinan.

3. Kombinasi Aturan Perkalian dan Penjumlahan

Dari angka-angka 0, 1, 3, 4, 7, dan 9 akan dibuat sebuah bilangan. Tentuan banyak bilangan yang dapat dibuat jika:

a. Terdiri atas 2 angka berlainan

b. Terdiri atas 3 angka berlainan yang kurang dari 400 dan merupakan bilangan genap

c. Terdiri atas 3 angka dan harus memuat angka 3

Jawab:

a. Contoh beberapa bilangan yang dapat dibuat adalah: 10, 13, 43, dan seterusnya. 02 walaupun terlihat terdiri atas 2 angka, namun bilangan yang terbentuk adalah 2 (terdiri atas 1 angka) sehingga tidak memenuhi aturan soal. Selanjutnya, 11 walupun terdiri atas 2 angka, tidak sesuai syarat soal yang harus "angka berlainan" karena kasus ini terdiri atas 2 angka yang sama.

Untuk efisiensi, kita dapat menggunakan aturan perkalian karena ini merupakan contoh kejadian berturutan misal terlebih dahulu kita menuliskan angka puluhannya baru dilanjut menulis angka satuan atau sebaliknya.

Terdapat 5 pilihan (1, 3, 4, 7, 9) untuk mengisi angka di puluhan dan tersisa 5 pilihan untuk mengisi satuan (dari pilihan 6 pilihan pada angka-angka 0, 1, 3, 4, 7, 9 dikurangi 1 pilihan yang sudah terpakai untuk mengisi puluhan/angka harus berlainan).

Sehingga banyak bilangan yang dapat di buat adalah: 5 . 5 = 25 bilangan

b. Terlebih dahulu diisi ratusan dan satuannya. Hal ini karena tanda keterangan soal dapat dideteksi dari kedua hal tersebut. Untuk melihat kurang dari 400 didapatkan dari nilai angka ratusan, sedangkan untuk melihat genap dapat dilihat dari angka satuan.

Terdapat 2 pilihan untuk mengisi angka ratusan, yaitu 1 dan 3.

Terdapat 2 pilihan untuk mengisi angka satuan (agar genap, pilihan satuannya adalah 0 atau 4).

Terdapat 4 pilihan untuk mengisi angka puluhan (pilihannya berkurang 1 untuk ratusan dan berkurang 1 lagi untuk mengisi satuan dari angka-angka 0, 1, 3, 4, 7, 9 yang salah satunya terpakai di ratusan).

Sehingga banyak bilangan yang dapat dibuat adalah: 2 . 4 . 2 = 16 bilangan

cara lain:

Terdapat 2 pilihan pengisi angka ratusan (1 dan 3). Selanjutnya, terdapat 5 pilihan angka untuk mengisi puluhan (dari angka-angka 0, 1, 3, 4, 7, 9 berkurang 1 pilihan angka, karena salah satunya terpakai untuk mengisi ratusan). Lalu ada 2 pilihan angka mengisi satuan (yaitu 0 dan 4).

Namun, dengan aturan seperti di atas, masih terdapat bilangan yang memuat angka sama. Contoh untuk ratusan angka 1 dan puluhan 0, jika satuannya 0 maka bilangan yang terbentuk adalah 100 (tidak memenuhi syarat soal yang mengharuskan angka-angkanya berbeda). Dengan demikian, hasil yang diperoleh nanti harus dikurangi 4 (dikasus ratusan angka 1, ada kejadian mengikutkan 100 dan 144, dan dikasus angka ratusan 3, mengikutkan 300 dan 344).

Sehingga dengan aturan ini, banyak bilangan yang dapat di buat adalah: (2 . 5 . 2) - 4 = 16 bilangan

Bukti:

untuk ratusan angka 1: 104, 130,134, 140, 170, 174, 190, 194

untuk ratusan angka 3: 304, 310, 314, 340, 370, 374, 390, 394

c. Bilangan 3 angka yang harus memuat angka 3. Untuk permasalahan ini, ada 3 kemukinan:

Kemungkinan 1: angka 3 pada ratusan

Ratusan 1 pilihan (angka 3), puluhan 6 pilihan (0, 1, 3, 4, 7, 9), satuan 6 pilihan = 1 . 6 . 6 = 36 bilangan

Kemungkinan 2: angka 3 pada puluhan

Ratusan 4 pilihan (1, 4, 7, 9), "angka nol tidak menjadi pilihan di ratusan dan angka 3 dihilangkan dari pilihan ini karena sudah digunakan saat kemungkinan 1". Contoh pada kasus ini, kita menghilangkan bilangan 331 karena pada saat kemungkinan 1 (3 di ratusan), bilangan ini sudah dibuat.

Puluhan 1 pilihan, dan satuan 6 pilihan (0, 1, 3, 4, 7, 9) = 4 . 1 . 6 = 24 bilangan

Kemungkinan 3: angka 3 pada satuan

Ratusan 4 pilihan (1, 4, 7, 9), angka nol tidak menjadi pilihan di ratusan dan angka 3 dihilangkan dari pilihan ini karena sudah digunakan saat kemungkinan 1.

Puluhan 5 (0, 1, 4, 7, 9) pilihan, " angka 3 dihilangkan karena sudah terpakai di kemungkinan 2", dan satuan 1 pilihan = 4 . 5 . 1 = 20 bilangan.

Total bilangan yang dapat dibuat adalah, 36 + 24 + 20 = 80 bilangan

Sebuah restoran menawarkan 3 jenis minuman, 2 jenis makanan utama, dan 2 jenis dessert. Berapa banyak menu berbeda yang dapat dipesan jika seseorang ingin memesan satu jenis minuman, satu jenis makanan utama, dan satu jenis dessert?

Jawab: Banyak menu berbeda yang dapat di pesan = 3 . 2 . 2 = 12 kemungkinan

Seorang siswa harus memilih 2 mata pelajaran dari 5 pilihan mata pelajaran. Berapa banyak cara siswa tersebut dapat memilih mata pelajaran jika ia harus memilih antara Matematika atau Fisika?

Jawab: Siswa harus memilih 2 mata pelajaran dari 5 pilihan: misalnya M, F, B, K, I (Matematika, Fisika, Biologi, Kimia, dan Informatika).

Syarat: Siswa harus memilih antara Matematika atau Fisika.

Kasus 1: Siswa memilih Matematika

Jika siswa memilih Matematika (M), maka siswa tinggal memilih 1 mata pelajaran lagi dari 4 mata pelajaran yang tersisa (F, B, K, I).

Banyak cara memilih 1 dari 4 = 4 cara

Kasus 2: Siswa memilih Fisika

Jika siswa memilih Fisika (F), maka siswa tinggal memilih 1 mata pelajaran lagi dari 4 mata pelajaran yang tersisa (M, B, K, I).

Banyak cara memilih 1 dari 4 = 4 cara

Total cara:

Jumlah cara untuk kedua kasus = 4 + 4 = 8 cara

C. Ayo Berlatih!

Kerjakan soal-soal berikut dengan teliti!

Sebuah dadu dilempar 2 kali. Berapa banyak hasil yang mungkin terjadi jika pada pelemparan pertama muncul angka genap dan pada pelemparan kedua muncul angka prima?
Seorang siswa mengambil 2 buku dari 3 buku matematika, 2 buku kimia, dan 2 buku fisika yang ada di atas meja. Jika ia harus mengambil 1 buku matematika dan 1 buku lainnya, maka banyak kemungkinan pilihannya adalah ....
Dari angka-angka 0, 1, 3, 6, dan 8 akan dibuat sebuah bilangan. Tentukan banyak bilangan yang dapat dibuat jika:

a. Terdiri atas 2 angka berbeda

b. Terdiri atas 3 angka dan merupakan bilangan genap

c. Terdiri atas 3 angka berlainan dan kurang dari 600

d. Terdiri atas 3 angka berlainan yang lebih dari 100 tapi kurang dari 630

Pada pemilihan Ketua dan Wakil Ketua OSIS SMAN 5 Berau terdapat 3 orang calon dari kelas X, 2 orang calon dari kelas XI, dan 3 orang calon dari kelas XII. Tentukan banyak kemungkinan pilihan jika:

a. Ketua harus dari kelas XII

b. Ketua harus dari kelas yang lebih tinggi daripada wakilnya

D. Refleksi

Setelah mengerjakan soal-soal di atas, apa yang kamu pelajari tentang aturan pencacahan?
Kapan kamu menggunakan aturan perkalian dan kapan kamu menggunakan aturan penjumlahan?
Ada kesulitan yang kamu hadapi saat mengerjakan soal-soal tersebut? Jika ada, kesulitan apa?

klik 👉 LATIHAN SOAL

Page updated

Google Sites

Report abuse